〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方即使解释。

一 函数极限的定义

1.定义1 设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域有定义

若任意 ε>0，存在 δ>0，当 0<|x-x0|<δ 时，恒有 |f(x)-A|<ε，则称 A 为 x->x0 时 f(x) 的极限。记作 lim(x->x0) f(x) = A。

【注】1) ε的任意性，ε 与 δ 的作用；

2) x -> x0，但 x ≠ x0 。

几何意义：

解析：同上一篇文章一样（“https://sunrisesn.top/2026/09/16/%e5%87%bd%e6%95%b0%e4%b8%8e%e6%9e%81%e9%99%90%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e8%8a%82-%e6%95%b0%e5%88%97%e6%9e%81%e9%99%9001/”）例如当你要求ε时，需要找到一个满足其要求的数字δ；此时以x0为圆心，(x-x0)为半径的去心领域的圆，只要其半径在δ这个数字以内，其圆内半径上的每一点x所对应的值 f(x) 都符合 |f(x)-A|<ε（其要求的值）,当 x 逐渐趋向于 x0 这个圆心时，其 f(x) 在 x0 的极限就是 A 。

【例1】用定义证明 lim(x->1) (x² – 1)/(x – 1) = 2.

若任意ε>0，存在δ>0，当 0<|x-x0|<δ 时，恒有 |f(x)-A|<ε ，

【证】任意ε>0，要使| (x²-1)/(x-1)-2 |=| (x+1)-2 |=| x-1 |<ε 。

只要 0<| x-1 |<ε，取δ=ε；当 0<|x-1|<δ，有 | (x²-1)/(x-1)-2 |<ε。

定义2. 左极限：lim(x->x0-) f(x) = f(x0-) = f(x0-0)

若任意ε>0，存在δ>0，当 0<x0-x<δ 时，恒有 |f(x)-A|<ε；

定义3. 右极限：lim(x->x0+) f(x0 = f(x0+) = f(x0+0)

若任意ε>0，存在δ>0，当 0<x0-x<δ 时，恒有 |f(x)-A|<ε；

解析：左极限是取极限定义的范围的左半边，而右极限是取极限定义的范围的右半边。

·lim(x->x0) f(x) = A <=> lim(x->x0+) f(x) = lim(x->x0-) f(x) = A

例：f(x) = x²（x<0）和sinx（x≥0），lim(x->x0-) f(x) = lim(x->0) x² = 0；lim(x->x0-) f(x) = lim(x->0) （sinx+1) = 1；所以lim（x->x0）的极限不存在。

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

定义2： ·lim(x->+∞) f(x) = A；任意ε>0，存在X>0，当 x>X 时，恒有 |f(x)-A| < ε

·lim(x->-∞) f(x) = A；任意ε>0，存在X>0，当 x>-X 时，恒有 |f(x)-A| < ε

·lim(x->∞) f(x) = A；任意ε>0，存在X>0，当 |x|>X 时，恒有 |f(x)-A| < ε

几何意义：

直线y=A为曲线 y=f(x) 的水平渐近线。

lim(x->x0) f(x) = A <=> lim(x->x0+) f(x) = lim(x->x0-) f(x) = A

解析：配合图一起了解，A为这个函数逐渐逼近的极限，以ε为半径，A为中心的宽带，在一个确定的X值后，超过X的x所对应的f(x)-A都会小于ε。同样的，趋向于无穷的极限能推出正无穷和负无穷都有极限并且为同一个，但是正无穷和负无穷有极限却不为同一个，无法推导出趋于无穷的极限。

【例2】用定义证明 lim(x->∞) sinx/x = 0

任意ε>0，存在X>0，当 |x|>X 时，恒有 |f(x)-A|<ε

【证】任意ε>0

|(sinx/x)-0| = |sinx/x| < ε

由于 |sinx/x| < 1/|x|（这里进行放大），只要 1/|x| < ε，|x|>1/ε

取X1=1/ε，只要|X|>X1，有 |(sinx/x)-0| < ε。

二 函数极限的性质

lim(x->x0) f(x) = A

1）唯一性；

2）局部有限性：存在M>0与δ>0，使得任意 x∈U(x0,δ) 有 |f(x)|≤M

解析：以 f(x)=x² 为例，假如限定范围为 0<x<2 这个区间内，此时这个函数的极限就是4，但是取不到4，因此这个区间可以说是这个函数在 x=1 时的局部有界性。从而可以说出，存在一个极限M和数δ，使得x在（x0,δ）这个区间内，其所对应的函数值永远不超过M，因此这就是局部有限性。

3）局部保号性：如果 A>0（或 A<0 ），则存在 δ>0，当 x∈U(x0,δ)时，f(x)>0（或f(x)<0 )

解析：同上面，在某个范围内，以x0为中心，在一定范围内所对应的函数值一直是大于0或者是小于0，这就是局部保号性。

推论1 如果存在 δ>0，当 x∈U(x0,δ) 时，f(x)≥0（或 f(x)≤0 ），那么 A≥0（或 A≤0 ）。

注意：（1）

解析：以 f(x)=-x² 为例，当x趋近于0的时候，f(x)的极限是0，但是其函数不是大于等于0的。

（2）

解析：以 f(x)=x²为例，f(x)函数大于0，但是其趋于x=0的极限也为零。

推论2 如果 A≠0，则存在 δ>0，当 x∈U(x0,δ)时，|f(x)|>|A|/2。

4）函数极限与数列极限的关系：

若lim(x->x0) f(x) = A，且lim(n->∞) Xn = X0，则lim(n->∞) f(Xn) = A；

三 内容小结

1.极限的统一定义

lim(n->∞) f(n) = A；

lim(n->∞) f(x) = A；lim(n->+∞) f(x) = A；lim(n->-∞) f(x) = A；

lim(x->x0) f(x) = A；lim(x->x0+) f(x) = A；lim(x->x0-) f(x) = A；

lim f(x) = A <=> 任意ε>0，存在时刻，从此时刻以后，恒有 |f(x)-A|<ε。（见下表）

2.极限的性质：唯一性；有界性；保号性；