〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 定义

定理1 两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和为无穷。

注：有限个无穷小的和为无穷，但无穷个无穷小的和不一定为无穷。

例：lim(n->∞) (1/n²+2/n²+3/n²+4/n²+…+n/n²)=lim(n->∞) [1/2n(n+1)]/n²=1/2。

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

解析：|α(x)|≤M，x∈u(x0,δ1)，lim(x->x0) β(x) = 0；

【证】∵lim(x->x0) β(x) = 0 ∴任意ε>0，存在δ2>0，当 0<|x-x0|<δ2时，有 |β(x)|<ε；取δ=min{δ1,δ2}，则当 0<|x-x0|<δ，|α(x)·β(x)|<ε·M/M=ε。

解析：一步步解释一下吧，首先是“lim(x->x0) β(x) = 0”，指的是当x越来越趋近x0这个位置时，β(x)的函数极限就越来越趋近于0；其次“任意ε>0，存在δ2>0，当 0<|x-x0|<δ2时，有 |β(x)|<ε；”这里从任意和存在那两句话可以省略掉，直接看后面以x0为圆心，x在以δ2为半径的这个圆内，β(x)在这个圆内除圆心外，取得每一个点都小于极限ε；再接着“要满足|α(x)β(x)|<ε（其中α(x)是有界函数，他永远不会超过M），就能说明α(x)β(x)->0，此时要把|α(x)β(x)|<ε拆开成|α(x)| |β(x)|<ε，因为|α(x)|≤M，所以|β(x)|<ε/M。然后通过“δ=min{δ1,δ2}”，能让α(x)和β(x)分别有界和足够小。最后，把整个证明穿起来，就有了lim(x->x0) α(x)·β(x)=0。

例：lim (x->0) x·sin1/x = 0，这里用到的就是无穷小乘有界。

推论1 常数与无穷小的乘积就是无穷小。

推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小。

定理3 若 lim f(x) = A，lim g(x) = B，那么：
·lim (f(x)±g(x)) = lim f(x)±lim g(x)
·lim (f(x)·g(x)) = lim f(x)·lim g(x)
注:lim f(x)=A <=> f(x)=A+α(x)
·lim (f(x)/g(x)) = lim f(x)/lim g(x)（B≠0）

【证】由lim f(x) = A，lim g(x) = B => f(x)=A+α(x)，g(x)=B+β(x)
f(x)g(x)=(A+α(x))(B+β(x))=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)

推论1 如果lim f(x) 存在，而c为常数，那么：lim[cf(x)]=clim f(x).

推论2 如果lim f(x) 存在，而n为正整数，那么：lim[f(x)]^n=[lim f(x)]^n.

定理4 设 lim(n->∞) an = a，lim(n->∞) bn = b，则：
（1）lim(n->∞) (an±bn) = lim(n->∞) an ± lim(n->∞) bn = a ± b；
（2）lim(n->∞) （an·bn) = lim(n->∞) an ·lim(n->∞) bn = a·b；
（3）lim(n->∞) an/bn = lim(n->∞) an / lim(n->∞) bn = a/b.（b≠0）

【例1】lim(x->2) (x²+2x) = lim(x->2) x²+lim(x->2) (2x) = 4+4=8

【例2】lim(x->1) (x²+x) / (x^3-3x+5) = lim(x->1) (x²+x) / lim(x->1) (x^3-3x+5) = 1+1/1-3+5=2/3

【例3】lim(x->1) (x²-x) / (x^3-3x+2) = lim(x->1) x(x-1) / (x-2)(x-1)（消去分母零因子） = lim(x->1) x/x-2 = -1

注：如果分母趋近于0的话，需要解析出分母的零因子，进行因式分解，最后消去分母零因子。

【例4】lim(x->∞) (x²-x) / (x^3-3x+2) = lim(x->∞) (1/x-1/x²) / (1-3/x²+2/x^3) （同除x^3）= 0/1 = 0。

注：如果分子分母同趋近于无穷的话，需要除以分母的最高项，然后再分别分子分母求极限。

定理5 如果 φ(x)≥ψ(x)，而lim φ(x) = A，lim ψ(x) = B，那么A≥B。

定理6 设 y=f[g(x)] 是由 y=f(u)，u=g(x) 复合而成，lim(x->x0) g(x) = u0 且 lim(u->u0) f(u) = a，当 x∈U(x0,δ0)时，g(x)≠u0，则 lim(x->x0) f[g(x)] = a。

二 内容小结

1.极限运算法则
（1）无穷小运算法则
（2）极限四则运算法则
（3）复合函数极限运算法则
注：三个法则需要注意使用条件

2.求函数极限的方法
（1）分时函数极限求法
1）x->x0时，用代入法（要求分母不为0）
2）x->x0时，用0/0型，约去分母零因子。
3）x->∞时，分子分母同除最高次幂（“抓大头”）。
（2）复合函数极限求法 —— 设中间变量