〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 定义

定义1（无穷小量）若lim(x->x0) f(x) = 0，则称f(x)为当 x->x0 时的无穷小量。
定义2（无穷小的比较）
1）若 lim α(x) / β(x) = 0，则称 α(x) 是 β(x) 的高阶无穷小；记为 α(x) = o(β(x))
例：x²/x趋向于0，因为上面的x²比x更快趋近于0，所以α(x)是x²，比下面的x更快接近0.
2）若 lim α(x) / β(x) = ∞，则称 α(x) 是 β(x) 的低阶无穷小。
例：x/x²趋向于无穷，x²速度比x更快，因此趋向于无穷。
3）若 lim α(x) / β(x) = a ≠ 0，则称 α(x) 与 β(x) 是同阶无穷小。
例：lim(x->0) (1-cosx)/x² = 1/2，这就是同阶无穷小。
4）若 lim α(x) / β(x) = 1，则称 α(x) 与 β(x) 是等价无穷小。记为 α(x) ~ β(x)
例：sinx~x~tanx~arcsinx~arctanx，所以可以等价成1-cosx~(1/2)x²。
5）若 lim lim α(x) / [β(x)]^k = a ≠ 0，k > 0，则称 α(x) 是 β(x) 的 k阶无穷小。

【例1】证明：当x->0时，sqrt(1+x,n)-1~(1/n)*x
解：已知lim(x->0) (sqrt(1+x,n)-1)/x = 1/n，∴令 sqrt(1+x,n)-1 = t，1+x = (1+t)^n，x=(1+t)^n-1。原式= 1/n

定理1 α(x)~β(x) 的充要条件 α(x) = β(x) + o(β(x))

sinx = x + o(x) arcsinx = x+o(x) tanx=x+o(x) arctanx=x+o(x)

定理2 设 α(x)~α1(x)，β(x)~β1(x)，且 lim α1(x)/β(x) 存在，则 lim α(x)/β(x) = lim α1(x)/β1(x)
注：只适用于乘除关系，不适用于加减关系。

诸如此类的有：（1）x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx
（2）1-cosx ~ (1/2)x²
（3）sqrt(1+x,n)-1 ~ (1/n)*x

解析：（1）先来一步步看，首先是①为什么x ~ sinx，意思就是lim(x->0) sinx/x = 1，他最经典的证明来自于单位圆，也就是当 0<x<Π/2 时，可以得到：sinx<x<tanx，此时两边同时除以sinx：1<x/sinx<1/cosx，再取倒数，当x->0时，cosx->1，运用夹逼定理，可以得知 lim(x->0) sinx/x = 1，因此sinx ~ x，也就是当 x 非常非常接近 0 时，sin x 和 x 几乎一样。②为什么tanx~x，直接从 sinx~x 来，因为 tanx=sinx/cosx，所以 tanx/x = (sinx/x) · (1/cosx)，当 x->0时，sinx/x -> 1，而 cosx -> 1，所以 tanx/x -> 1；可以理解为 当 x 足够小时，它们三个几乎重合。③为什么 arcsinx ~ x，令 y=arcsinx，那么根据反函数，可以得知 x=siny，我们想研究 lim(x->0) arcsinx/x，因为当 x=siny，因此其原式等于 y/siny，当 x->0 时，y = arcsinx -> 0，因此 lim(y->0) y/siny = 1，所以 arcsinx ~ x的。④为什么 arctanx ~ x，同上面一样，令y = arctanx，所以 x = tany，因此 arctanx/x = y/tany，又因为 tany ~ y，所以 y/tany = 1，因此 arctanx ~ x。小结就是当 x 无限接近 0 时，它们的“变化速度”越来越接近。
（2）再来看 1-cosx~(1/2)x²，利用一个三角恒等式 1-cosx=2sin²(x/2)，因为lim(x->0) sinx/x = 1，于是 1-cosx = 2sin²(x/2)，把它写成 1-cosx =2*[(sin(x/2)/(x/2)]²·(x/2)²整体。当 x->0的时候，sin(x/2)/(x/2) -> 1，所以1-cosx~(1/2)x²。
（3）再来看看 sqrt(1+x,n)-1 ~ (1/n)*x；第一步，先设 A=sqrt(1+x,n)，那么 A^n = 1+x，我们要研究 A-1；第二步，通过利用因式分解 A^n-1=(A-1)(A^{n-1}+A^{n-2}+…+A+1) ，因为 A^n = 1+x，所以 A^n – 1 = x，于是 x = (A-1)(A^{n-1}+A^{n-2}+…+A+1)，因此 A-1 = x / (A^{n-1}+A^{n-2}+…+A+1)，把A=sqrt(1+x,n)换回来；第三步，让x->0，那么 sqrt(1+x,n) -> 1，又因为分母中有 n个1，所以 sqrt(1+x,n)-1 ~ (1/n)*x。

【例2】求下列极限

解：1）原式=lim(x->0) 3x/2x =3/2
2）原式 = lim(x->0) 2x/x = 2
注意：α±o(α) ~ α，等阶无穷小的时候，直接取最低项即可。
3）原式 = lim(x->0) (1/3)*2*x² / (1/2)*x² = 2/3
4）原式 = lim(x->0) tanx(cosx-1) / x^3 = lim(x->0) x*(-1/2 x²)/x^3 = -1/2

二 内容小结

1.无穷小的比较
设α，β对同一自变量的变化过程为无穷小，且α≠0

2.等价无穷小变换
（1）代换原则：乘除关系可以换

（2）常用的等价无穷小：当 x->0 时：