〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方即使解释。

二编：之前想类似B站那样一个p一个p的分开发文章，但是发现一篇文章的份量太小了，于是这里故将把一个模块内整合到一起。

一 数列极限的定义

·定义：

解析：当n趋向于无穷时，lim(n->∞) Xn=a；此时数列X为n时有极限为a。整体式子含义就是，（任意一个ε在大于0时）存在一个N，当n>N时，有|Xn-a|<ε；

通俗点就是假如你离A有足够远的距离，目前要求你离A距离100米远（其中的“100米”就是式子中的“ε”），于是你就往A的方向走，走到第22步的时候（这里的“第22步”就是式子中的“N”）正好离A距离100米远；于是往后23，24步……都符合你离A的距离在100米以内。

·几何意义：

解析：同上面解析一起，当n大于给定的数值N时，数列项Xn总会在以a为原点，半径为ε的圆内。

【例一】用定义证明下列极限

1. lim(n->∞) q^n=0（|q|<1）

解：任意ε>0,|Xn-a|=|q^n-0|=|q|^n<ε；两边取对数，只要n>(lnε)/(ln|q|)，取N=(lnε)/(ln|q|)。当n>N时，有|q^n-0|<ε

2. lim(n->∞) sqrt(n,n)=1

解：任意ε>0，|Xn-a|=|sqrt(n,n)-1|=sqrt(n,n)-1<ε，sqrt(n,n)-1<αn<ε（进行适当放大）；令sqrt(n,n)-1=αn>0，n=(1+α)^n=1+n·αn+([n(n-1)]/2!)·αn^2+…….>(n(n-1)/2!)·αn>([n(n-1)]/2!)·αn^2 => αn<sqrt(2/(n-1),2) => ……. =>( n>2/(ε^2))+1。所以存在N=2/(ε^2))+1

二 收敛数列的性质

1. 唯一性：反证：lim(n->∞)Xn=a，lim(n->∞)Xn=b，假设a<b：

取ε=b-a/2，存在N，当n>N时：|Xn-a|<(b-a)/2，|Xn-b|<(b-a)/2

=>a-(b-a)/2<Xn<a+(b-a)/2，b-(b-a)/2<Xn<b+(b-a)/2

=>a+(b-a)/2=(a+b)/2，b-(b-a)/2=(a+b)/2；

=>不能既小于又大于同一个数，故而矛盾，因此证明了唯一性（只有一个极限）

解析：这里假设如果一个数列在趋向于无穷时拥有两个极限时，需要满足前面极限定义|Xn-a|<ε，因此这里引出了两个式子，但求到最后发现左式和右式中分别小于和大于的是同一个数，因此这里证明了一个数列在趋向于无穷时是无法有两个极限的。

2. 有界性：收敛数列必有界；

【证】由lim(n->∞)Xn=a，任意ε>0，存在N，当n>N，|Xn-a|<ε => a-ε<Xn<a+ε，取M=max{|X1|,|X2|……|Xn|,|a-ε|,|a+ε|}，任意n∈N+，|Xn|≤M。

注：收敛必定有界，但有界并不收敛（例：1，-1，1，-1……）

解析：同上面，例如Xn=1/n，他的上边界和下边界就分别是1和0，因此他所有的数都只能在1和0这个范围内去取，并且在取极限时分别取到1和0。

3. 保号性：若lim(n->∞)Xn=a,且a>0（或a<0），则存在N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

推论：如果存在N>0，当n>N时，Xn≥0（或Xn≤0），则a≥0（或a≤0）

（例：αn=-1/n，他的极限就是0，但是当n>N（给定的值）后，Xn是无法大于等于0的，因为极限就是0）

（例：Xn=1/n，他的数列的值是大于0的，但是取极限时是等于0的，所以无法得出上图下面的结论）

解析：通俗点来说，如果一个数列最终趋近于一个“不为0的数”，那么到了后面，正负号就不会再变了。

4. 收敛数列与其子列之间的关系

lim(n->∞)Xn=a <=> lim(k->∞)X(2k-1) = lim(k->∞)X2k=a

注：奇数列能推出偶数列有极限，反之也成立，但是如果要推出原数列有极限的话，需要这两个都有极限并且极限为同一个数。

（例：X(2k-1)：1 1 1 1 -> 1；X2k：-1 -1 -1 -1 -> -1）

三 内容小结

• 1.数列极限的“ε-N”定义及应用。
• 2.收敛数列的性质：唯一性；有界性；保号性；任一子数列收敛于同一极限。