〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 隐函数的导数

显函数：y = cosx，y = x/(1+x)
隐函数：3y + x + 1 = 0
y – x – εsiny = 0
一般的：F(x,y) = 0 => y = f(x) F(x,f(x)) = 0

例1 求由方程 y^5 + 2y – x = 0 确定的隐函数 y = f(x) 的导数
解：5y^4 y’ + 2y’ – 1 = 0 => y’ = 1/(5y⁴ + 2)

注：这里来通俗解释一下关于隐函数，这里可以理解成 y是x的函数，因此你对着 x 求导的时候，y也会跟随着变化，所以y也是可以求导的，但是因为是对着x，也就是 dy/dx，因此y的后面要加个y’。

例2 设 y=f(x) 由 y = 1+xe^y 所确定，求 yⁿ (0)
解：当 x=0,y=1，y’=e^y + xe^y y’
y'(0) = e+0 => y'(0) = e
y” = e^y y’ + e^y y’ +x(e^y y’)’ => y”(0) = 2e²

例3 设 y=(1+x²)^sinx 求y’.
解：两边取对数，lny = sinx ln(1+x²)
两点对x求导，可以得出 y’/y = [cosxln(1+x²) + (2xsinx)/(1+x²)]
y’ = (1+x²)^sinx [cosxln(1+x²) + (2xsinx)/(1+x²)]

例4

解：

二 由参数方程所确定的函数的导数

定理 设 x = φ(t)，y = ψ(t) 在（α，β）上可导，φ'(t) ≠ 0，则

解析：这里要记住，x = φ(t)可以推出 t = φ^-1 (x)，又因为 y = ψ(t)，可以推导出 y = y(x)；因此 dy/dx 可以写成 (dy/dt)·(dt/dx)，最后得出 ψ'(t)/φ'(t)

若 φ(t)，ψ(t) 二阶可导，则：

例5

解：dy/dx = (2t/1+t²)/(1/1+t²) = 2t
d²y/dx² = 2·dt/dx（这里要记住）=> 2/（1/1+t²) = 2(1+t²)

注：求二阶导的时候，比如 d²y/dx² 的时候，需要带上 dt/dy，然后这里等于 x对t的导数的倒数。

例6

解：k切 = (dy/dx)|_t=Π/2 = (asint/a(1-cost))|_t=Π/2 = 1
x0 = α(Π/2 – 1)，y0 = α
切：y-y0 = 1·(x-x0)
法：y-y0 = (-1)·(x-x0)

注：切线和法线的斜率互为负倒数关系，因此求出切线斜率后可以直接求出法线斜率

三 相关变化率

x = x(t) y = y(t) F(x,y) = 0

例7 设有一个倒置的圆锥形容器，其底面圆直径为10cm，高为5cm，现以每秒3cm³给容器中加水，试求 t=1 秒时水面上升的速率。
解：v(t) = (Π/3) r²h (圆锥体积公式) = (Π/3) h²(t) h(t)（这里记住，因为半径和高是相等的，因此这里用h替换掉了r）= (Π/3) h³(t)
v'(t) = Πh²(t) (dh/dt) => 3 = Π h²(1) (dh/dt)
这里将t=1带入到原式当中，也就是最开始第一个式子，得到 3 = (Π/3) h³(1)，带入到刚才那个式子里面，求出 dh/dt

四 内容小结

1.隐函数求导法则 —— 直接对方程两边求导
2.对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘，连除表示的函数
3.参数方程<—转化— 极坐标方程求导

4.相关变化率问题：
1）列出依赖于t的相关变量关系式
2）等式两端对t求导