〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 定义

若 f⁽ⁿ⁾ (x) 在区间 I 上连续，称 f(x) 在 I 上 n 阶连续可导。

例1 求下列函数的n阶导数
1）（e^x)^(n) = e^x
2）(sinx)^n = sin(x+n*(Π/2))
3）(cosx)^n = cos(x+n*(Π/2))
4）(ln(1+x))^n = ((-1)^(n-1))*(n-1)!/(1+x)^n

定理 设 u,v 都是 n 阶可导，则
1）（u±v)^(n) = u^(n) ± v^(n)
2）莱布尼茨公式 :

注：此公式是由 (uv)’ = u’v+uv’推导出来的，可以看看下方图片来找出规律：

例 1）设 f(x) = 1/(x²-1)，求f⁽ⁿ⁾ (x)
解：

解析：分母可以拆成(x+1)(x-1)，利用裂项相消法（后续会有额外补充），拆成 1/2*[(x+1)-(x-1)]/[(x-1)(x+1)] = 1/2[1/x-1 – 1/x+1]，在这之上，可以将1/x-1 转化成 (x-1)^(-1)，在对他进行高阶导后，可以总结出以下这张图片的式子：

此时按照此公式的规律，套用在x+1上，最后得出结论（注：x-1变成分母是因为括号外的-1次方给消掉，直接变成分母了）。

2）设 f(x) = x²e^x，求 f⁽¹⁰⁰⁾ (x)

解：

注：用的是莱布尼茨公式，倒数第二行那两个分别是0和1，而不是10和11.

二 内容小结

1.定义（高阶导数）

2.高阶导数的求法
（1）利用归纳法
（2）利用公式

三 额外补充（裂项相消法）

先来看一个式子：1/[n·(n+1)]

这里我们把他拆成两个分数，也就是 1/n – 1/(n+1)

由此可以举出：1/n·(n+2) 这个例子，按上述式子，也可以推导出：

为什么前面要加一个1/2呢，是因为拆成两个分式后相减，得到的分子答案是2，与前面原式的1是不匹配的，因此要乘个1/2.

所以这里可以推导出一个流程：

四 高阶裂项相消

这里可以对照一下表格，看表格中的规律：

最后可以推出一个公式：