第三章微分中值定理与导数应用——第一节微分中值定理

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〇前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

这章非常重要，一定要记住。

一罗尔定理

定义（极值）若存在δ>0，使得 ①任意x∈U(x0,δ)，恒有 f(x) ≥ f(x0)，则称 f(x) 在 x0 取极小值
②任意x∈U(x0,δ)，恒有 f(x) ≤ f(x0)，则称 f(x) 在 x0 取极大值

费马引理 若 f(x) 在 x0 处取得极值，且 f(x) 在 x0 处可导，则 f'(x0) = 0。

解析：这里如果要取极大值的话，根据定义式 lim(Δx->0+) (f(x0+Δx)-f(x0))/Δx，因为临近极值的点所对应的函数值没有取极值的点所对应的函数值大，因此分子部分是小于等于0的，又因为Δx是大于0的，因此这个比就是小于等于0的；同样，当Δx小于0时，因为分子是小于等于0的，在Δx->0-加上在x0点可导时，这个比是大于等于0的，在这基础上需要满足前面Δx->0+，因此f'(x0)是等于0的。

罗尔定理 若 1）f 在 [a,b] 上连续；
2）f 在 (a,b) 内可导；
3）f(a) = f(b)

则存在 ξ（xi）∈(a,b)，使 f'(ξ) = 0

[证] 由于 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在最小值m，最大值M
1）若 m = M, => f(x) = m.
2）若 m < M，m、M至少有一个在（a,b）取到，不妨设存在 ξ ∈ (a,b)，使 f(ξ) = M => f'(ξ) = 0（费马定理）

二拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 若：
1）f 在 [a,b] 上连续;
2）f 在 (a,b) 内可导，则 存在ξ∈(a,b)，使 (f(b)-f(a)) = f'(ξ) (b-a)。

解析：这里a,b两点连接起来的线，其斜率等于ξ点曲线的斜率，因此可以写成 (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(ξ)，再一转变，可以演变成 (f(b)-f(a)) = f'(ξ) (b-a)。

注：1）a>b，a<b 结论都成立
2） f(b)-f(a) = f'[a+θ(b-a)](b-a) (0<θ<1）（*f'(ξ) = f'[a+(ξ-a)] = f'[a+[(ξ-a)/(b-a)](b-a)]*）
f(x0+Δx) – f(x0) = f'[x0+θΔx]Δx （0<θ<1) 有限增量公式

推论设 f(x) 在区间 I 上连续，在 I 内可导，则在 I 上 f(x) = C <=> f'(x) = 0

例1 试证 |sinx-siny| ≤ |x-y|

解：sinx-siny = cosξ (x-y)
|sinx-siny| = |cosξ||x-y| ≤ |x-y|（因为cosξ最大不超过1）

例2 证明：