〇 前言
此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。
注：此章也很重要，需要严肃记住
这里用 lim(x->0) (x-sinx)/x³ = lim(x->0) ((x-sinx)-(0-sin0))/(x³-0³)（这里用的是极限的定义公式）= lim(x->0) (1-cosξ)/3ξ² = lim(x->0) (1-cosx)/3x² = lim(x->0) (1/2x²)/3x² = 1/6
一 洛必达法则
洛必达法则
若 1）lim(x->x0) f(x) = lim(x->x0) g(x) = 0；
2）f(x) 和 g(x) 在 U(x0,δ) 内可导，且 g'(x) ≠ 0；
3）lim(x->x0) f'(x)/g'(x) 存在（或∞）；
则 lim(x->x0) f(x)/g(x) = lim(x->x0) f'(x)/g'(x)
[证] lim(x->x0) f(x)/g(x) = lim(x->x0) (f(x)-f(x0))/(g(x)-g(x0))（这里假定 f(x0) = g(x0) = 0）= lim(x->x0) f'(ξ)/g'(ξ) = lim(x->x0) f'(x)/g'(x)
注：这里运用的是柯西中值定理
例1 （1）求极限 lim(x->0) (tanx-x)/(x-sinx)
解：原式 = lim(x->0) (sec²x-1)/(1-cosx) = lim(x->0) tan²x/((1/2)·x²) = 2
注：这里用到了两个公式，分别是以下图片
（2） lim(x->0) (x-sinx)/x³ = lim(x->0) (1-cosx)/3x² = 1/6
（3） lim(x->0) (tanx-x)/x³ = lim(x->0) (sec²x-1)/3x² = 1/3
因此这里得到两个重要的等价无穷小：
①x-sinx~(1/6)·x³
②tanx-x~(1/3)·x³
例2 其极限（0/0）
解：原式=lim(x->0) (x²+2cosx-2)/x4 （①下方有解析）= lim(x->0) (2x-2sinx)/4x³ = 1/2 lim(x->0) (x-sinx)/x³ = 1/2 lim(x->0) (1/6)x³/x³ （②这里有解析）= 1/12
解析：①处用的是之前文章（https://sunrisesn.top/2026/10/02/%e7%ac%ac%e4%b8%80%e7%ab%a0-%e5%87%bd%e6%95%b0%e4%b8%8e%e6%9e%81%e9%99%90-%e7%ac%ac%e4%b9%9d%e8%8a%82-%e8%bf%9e%e7%bb%ad%e5%87%bd%e6%95%b0%e7%9a%84%e6%9e%81%e9%99%90%e4%b8%8e%e5%88%9d/）内的两个等价无穷小，也就是 ex – 1 ~ x 和 ln(1+x²)~x²；②处则用的是刚才的理论 x-sinx~(1/6)·x³
例3 （∞/∞）
解：①lim(x->+∞) loga x / xα = lim(x->+∞) (1/xlna)/(axa-1) = (1/alna) lim(x->0) 1/xa = 0
②lim(x->+∞) xa /ax = lim(x->+∞) (axa-1 )/(ax lna) = lim(x->+∞) (a(a-1)xa-2 )/(ax (lna)²)…… = 0
这里推导出一个东西，当 x->∞的时候，速度比较：
loga x << xa << ax
例4 求
解：原式= lim(x->0) (x-ln(1+x))/xln(1+x) = lim(x->0) (x-ln(1+x))/x²（这里用等价无穷小替换） = lim(x->0) (1/1+x)/2 = 1/2
例5 求lim(x->0+) (x)sinx
解：原式= lim(x->0+) (esinxlnx)，这里先看 lim(x->0+) sinxlnx = lim(x->0+) xlnx（这里用等价无穷小替换）= lim(x->0+) (1/x)/(-1/x²) = 0；因此原式等于e0=1
解析：上式中sinx·lnx相当于是0·∞（注：这里的0指的是无穷小），因此这里将他转化成 ∞·∞ 或 0·0
例6 求
解：原式 = lim(x->+∞) exln(2/Π)arctanx = lim(x->+∞) xln(2/Π)arctanx = lim(x->+∞) (ln(2/Π)arctanx)/(1/x)（这里是将∞·0转化成了0/0型） = -Π/2
因此原式等于e-Π/2
二 内容小结
1）适用类型：
注：后面
可以推出[f(x)]g(x) = eg(x)lnf(x)，这里指数都是0·∞类型的
2）注意两点：
（1）化简（利用等价代换）
（2）条件3）
注：
