〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1 设函数 f,g 在 x0 连续，则 f±g，fg，f/g（g(x0)≠0）都在 x0 连续

例1 证明：tanx，cotx 在其定义域内是连续
解：tanx = sinx/cosx，根据上述法则，sinx在其定义域内是连续的，cosx也是连续的，因此tanx也是连续的；同理，cotx = 1/tanx，所以cotx也是连续的。

二 反函数与复合函数的连续性

定理2（反函数的连续性）设 f:[a,b]->R 是严格单调增（减）的连续函数。则其反函数在 [f(a),f(b)]，（[f(b),f(a)]），上也是连续的

例2 证明：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx 在其定义域内是连续的
解：y = sinx [-Π/2，Π/2] -> x = arcsiny [-1,1]

解析：根据上述定理“f:[a,b]->R 是严格单调增（减）的连续函数。则其反函数在 [f(a),f(b)]”可知，因为sinx在其定义域内是连续的，因此其反函数 x = arcsiny 也是连续的。

定理3（复合函数的连续性）设 y = f(g(x)) 是由 y = f(u) 与 u = g(x) 复合而成，若 g(x) 在 x0 处连续，f(u) 在 u0 连续，u0 = g(x0)，则 f(g(x)) 在 x0 处连续。

三 初等函数的连续性

定理4 基本初等函数在其定义域内是连续；
定理5 初等函数在其定义区间内是连续；

例3 证明下列结论
1）lim(x->0) (ln(1+x))/x = 1
解：左：lim(x->0) ln(1+x)^1/x（其中当其x趋向于0时，其ln(1+x)^1/x极限为e，解析在后面）= lim(x->0) lne = 1
解析：同前面文章所述，在 e = lim(n->∞) (1+1/n)^n的基础上，令 n=1/x，可以直接得到 (1+x)^1/x = e。

2）lim(x->0) (a^x-1)/x = lna（a>0)
解：令 a^x-1=t，a^x = 1+t，xlna=ln(1+t)，当t->0时
原式=ln(t->0) tlna/ln(1+t) = lna，其中如果a = e的话，原式=lne=1

3）lim(x->0) (e^x-1)/x = 1
解：同前面第二题所述，可以直接套用最后结论，证明原式等于1。

4）lim(x->0) [(1+x)^α-1]/x = α
解：令 (1+x)^α-1 = t，(1+x)^α = 1+t，αln(1+x) = ln(1+t)；原式等于 lim(x->0) t/x = lim(x->0) t(αln(1+x))/xln(1+t)，又因为t/ln(1+t) = ln(1+x)/x = 1，所以原式等于α。

结论：（常用的等价无穷小）

例4 求极限 lim(x->0) (sqrt(1+x²,2))^1/ln(1+x²)
解：原式 = lim(x->0) {[1+((sqrt(1+x²,2)-1)]^1/(sqrt(1+x²,2)-1}^(sqrt(1+x²,2)-1/ln((sqrt(1+x²,2))

在原式的基础上，可以推出：

（其中ln(1+x) ~ x，(1+x)^a-1 ~ ax）
因此原式等于e^1/2.

“1^∞”型极限常用结论
若 lim α(x) = 0，lim β(x) = ∞，且 lim α(x)β(x) = A，则 lim(1+α(x))^β(x) = e^A.
其可以等于：

·可以归纳为以下三步：
1）写标准形式 原式 = lim[1+α(x)]^β(x)
2）求极限 lim α(x)β(x) = A
3）写结果 原式 = e^A

例5

解：x = 0，lim(x->0-) e^(1/x) = 0 lim(x->0+) arctan(x/(x-2)) = 0 可去
x = 2，lim(x->2-) arctan(x/x-2) = -Π/2 lim(x->2+) arctan(2/x-2) = Π/2 跳跃

注：这里需要记住 lim(x->-∞) arctanx = -Π/2，lim(x->+∞) arctanx = Π/2。

四 内容小结

连续函数的和差积商的连续性；
反函数的连续性；
复合函数的连续性；
初等函数的连续性；
定义区间与定义域的区别；