〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 有界性与最大最小值定理

定理1（最大最小值定理）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上必有最大值和最小值。
定理2（有界性定理）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上必有界。

二 零点定理与介值定理

定理3（零点定理）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f(a)f(b)<0 ，则 存在ξ∈(a,b) 使 f(ξ) = 0

定理4（介值定理）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且 f(a) ≠ f(b)，μ 为介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何值，则至少存在一个 ξ∈(a,b) 使 f(ξ) = μ

推论：设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a.b] 上能取得介于他的最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

例1 证明方程 x = asinx + b，其中 a>0,b>0，至少有一个正根，并且它不超过 a+b。
【证】令f(x)=x-asinx-b，x∈[0，a+b]，f(0) = -b<0，f(a+b) = a+b-asin(a+b)-b = a[1-sin(a+b)] ≥ 0
1）若 sin(a+b) = 1，结论成立
2）若 sin(a+b) < 1，f(a+b)·f(0)<0 => 存在 ξ ∈ (0,a+b)，故 f(ξ) = 0

例2 设 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，a<c<d<b，试证至少存在一个 ξ ∈ [c,d]，使 3f(c)+2f(d) = 5f(ξ)

【证】由于 f(x) 连续，则在 [c,d] 上有最小值m，最大值M。
原式：m = 3m+2m/5 ≤ 3f(c)+2f(d)/5 ≤ 3M+2M/5 = M
=> 存在 ξ ∈ (c,d)，使 f(ξ) = 3f(c)+2f(d)/5

三 内容小结

四个定理：设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续
定理1（最大最小值定理）；
定理2（有界性定理）；
定理3（零点定理）；
定理4（介值定理）；