〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 函数单调性的判别方法

定理1 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则

（1）如果在 (a,b) 内 f'(x)≥0，且等号只在有限个点上成立，则 f(x) 在 [a,b] 上单调增加；

（2）如果在 (a,b) 内 f'(x)≤0，且等号只在有限个点上成立，则 f(x) 在 [a,b] 上单调减少；

【证】f(x2)>f(x1) f(x2)-f(x1)>0
f(x2)-f(x1) = f'(ξ)(x2-x1) > 0

例1 确定 f(x) = e^x-x-1 的增减区间

解：f'(x) = e^x – 1 = 0 => x = 0
(-∞,0)，f'(x) < 0 => f(x) ⬇
(0,+∞)，f'(x) > 0 => f(x) ⬆

例2 试证 x>0 时，

解：sinx<x => x-sinx > 0
令 f(x) = x-sinx，f(0) = 0
f'(x) = 1-cosx ≥ 0 可以推出：在[0,a]这个区间内，x的个数为有限个，因此 f(x) 在 (0,+∞)上是单调增的，最后得出 f(x)>0
令 g(x) = sinx – x +x³/6，g(0) = 0
g'(x) = cosx – 1 + x²/2 > 0
g”(x) = x – sinx > 0 => g'(x) ⬆，g'(0) = 0 => g'(x) > 0 => g(x) > 0

解析：这里二次导后g”(0) > 0，可以推出 g'(x) > 0，但又因为g'(0) = 0，因此可以推出 g(x) > 0 。

二 曲线的凹凸性与拐点

定义 设函数 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1，x2 恒有

则称 f(x) 在 I 上 的图形是凹的；

如果恒有

则称 f(x) 在 I 上的图形是凸的

定理2 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内二阶可导
（1）若在 (a,b) 内 f”(x) > 0，则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凹的；

证：

（2）若在 (a,b) 内 f”(x) < 0，则 f(x) 在 [a,b] 上的图形是凸的

例3 判定曲线 y = x³ 的凹凸性

解：y’ = 3x²，y” = 6x
(-∞,0)，y”<0，凸
(0,+∞)，y”>0，凹

例4 求下列曲线的凹、凸区间及拐点

1）f(x) = x⁴-6x³+12x²+x+1；
解：

2）g(x) = e^-x²
解：

三 内容小结

1.可导函数单调性判别
f'(x) > 0，x ∈ I => f(x) 在 I 上单调递增
f'(x) < 0，x ∈ I => f(x) 在 I 上单调递减

2.曲线凹凸与拐点的判别
f”(x) > 0，x ∈ I => 曲线 y = f(x) 在 I 上向上凹
f”(x) < 0，x ∈ I => 曲线 y = f(x) 在 I 上向上凸

拐点 —— 连续曲线上的凹凸分界点