〇 前言
此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。
注：此章也很重要，需要严肃记住
注意：后面有例题没有写上去，请根据此链接（03.微分中值定理与导数应用 泰勒公式_哔哩哔哩_bilibili 35:49处）去看后面的例题讲解。
一 泰勒定理
若 f(x) 在 x0 处可微，则 Δy≈dy
f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)（后面这个是误差）
问题：若 f(x) 在 x0 处 n 阶可导，是否存在 n 次多项式
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)² +……+ an(x-x0)n
使 f(x) = Pn(x) + o((x-x0)n）
结论：a0 = f(x0)，ak = (f(k)(x0))/k!（k=1,2……n）
重点：
解析：第一个方程 f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0) 表示的是在x0点取得的切线+在这一点变化的微分量，而后面 f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0) 则在后面加了一个更微小的误差量，也就是 o(x-x0)。因此这里抛出一个问题，若在 x0 处 n 阶可导的话，是否存在 n 次多项式，也就是说把这个曲线逐步拆分成由多个微小直线组成的曲线，汇总成了一个式子：f(x) = Pn(x) + o((x-x0)n）。这里令 x=x0，可以得出a0的值，在这基础上，对 a1 所在的位置进行二阶导，可以使 a1 部分为常数，最后求出 a1，顺着这个推下去后就能得出 ak的公式，也就是
最后汇总在一起，就能得到Pn的公式，也就是：
定理1（Taylor定理）设 f(x) 在 x0 处 n 阶可微，则：
上式称为带Peano（皮亚诺）余项的Taylor公式；
记作：
f(x) 在 x0 处的 n 次Taylor多项式
Rn(x) = o((x-x0)n) f(x) 的Peano余项
证明：
解析：这里是证明上面那个泰勒公式，这里分子 f(x) – Pn(x) 可以看成在 x0 点，Pn(x)这个函数曲线和f(x)这个曲线之间的误差，而最后令整式等于0的原因是：我们要证明 泰勒多项式 Pn(x) 对原函数 f(x) 的近似，精确到了第 n 次项。
第二张图片后面的Pn则指的是这条曲线的变化率，这里第二张图片用的是极限定义方程，其实可以想象成两条曲线在这个点努力贴合在一起，但永远不重合。
缺点：1）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析；
2）适用范围小；
若 f(x) 在区间 I 中可微，x0∈I，x∈I，
Δy = f'(x0+θΔx)Δx f(x) = f(x0)+f'(ξ)(x-x0)
定理2（Taylor定理）设 f(x) 在区间 I 中 n+1 阶可导，x0∈I，则 任意x∈I，存在ξ∈I（ξ 在 x0 与 x 之间），使
上式称为带Lagrange（拉格朗日）余项的Taylor公式；
称为 f(x) 的Lagrange余项
解析：刚才那个带peano余项的泰勒定理公式，只能定性分析；而这里带拉格朗日余项的泰勒定理能算出具体的量是多少。
若 |f(n+1)(x)| ≤ M，则：
注意：这两个都是把函数表示成一个多项式+一个余项，但余项的表达形式不一样。
若 x0=0，则
上式称为 f(x) 的Maclaurin（麦克劳林）公式。
·几个初等函数的Maclaurin公式
1）
2）
3）
4）
5）
二 内容小结
核心公式：
1）Peano（皮亚诺）余项
2）Lagrange（拉格朗日）余项
小结：1.本质：用多项式逼近 f(x)
用已知点的信息表示未知点
2.Peano：定性；局部
3.Lagrange：定量；整体
4.Lagrange定理是Taylor定理的特例。
四大中值定理：前三个建立 f(x) 与一阶导数的关系
Taylor建立 f(x) 与高阶导数之间的关系。
