〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 第一类换元法

定理1 若 ∫f(u) du = F(u) + C ，则 ∫f(φ(x)] φ'(x) dx = ∫f[φ(x)] d φ(x) = F[φ(x)] + C

解析：这里是把 φ(x) 换成了 u

例1 ∫(1+3x)¹⁰⁰dx
解：原式 = 1/3 ∫(1+3x)¹⁰⁰d(1+3x)（凑微分） = 1/303 (1+3x)¹⁰¹+C

例2 ∫(dx/(a²+x²))
解：原式 = 1/a² ∫d(x/a) / (1+(x/a)²) = (1/a) arctan(x/a) + C

解析：这里用了个公式

例3 ∫dx/√(a²-x²)
解：原式 = ∫d(x/a) / (√(1-(x/a)²)) = arcsin(x/a) + C

例4 ∫x/√(1+x²) dx
解：原式 = 1/2 ∫d(1+x²)/√(1+x²) = (1/2) 2√(1+x²) + C

注：这里用到了这个式子

例5 ∫dx/√(1-x²-2x)
解：原式 = ∫d(x+1)/√(2-(x+1)²) = arcsin(x+1)/√2 + C

例6 ∫tanxdx
解：原式 = ∫(sinx/cosx) dx = -∫dcosx / cosx = -ln|cosx| + C

例7 ∫cos²xdx
解：原式 = 1/2 ∫(1+cos2x) dx = 1/2 (x+(1/2)sin2x)+C
注：这里用到了二倍角公式

例8 ∫cos³xdx
解：原式 = ∫cos²x dsinx = ∫(1-sin²x)dsinx = sinx – (1/3) sin³x + C

二 第二类换元法

定理2 设 x = φ(t) 是单调的、可导的函数，并且φ'(t) ≠ 0

则 ∫f(x) dx = ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F(t) + C = F[φ^-1(x)] + C

解析：第一类是把里面的东西换成新变量；第二类是直接规定 x 等于什么，从而让整个积分变简单。比如说第一类换元法是通过凑微分的形式来找出对应的原函数的形式，而第二类还原法则是通过令 x 等于一个类型的 t，最后变换成关于 t 的形式。

例1 ∫[√(a²-x²)] dx
解：令 x = asint，-Π/2 ≤ t ≤ Π/2
原式 = ∫a(√cos²t) acostdt = a²∫cos²t dt = (a²/2) ∫(1+cos2t)dt = (a²/2) ∫(t+(1/2)sin2t) + C = (a²/2) (arcsin(x/a) + (x/a)√(1-(x²/a²)) + C

本章关键：

三 内容小结

1.第一类换元（凑微分）

定理1 若 ∫f(u)du = F(u) + C
则∫f(φ(x)] φ'(x) dx = ∫f[φ(x)] d φ(x) = F[φ(x)] + C

2.第二类换元法
∫f(x) dx = ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F(t) + C = F[φ^-1(x)] + C