〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

这里通过积分定义，可以表达出：

因为 s'(t) = v(t)

因此可以得出

综上，可以得出两个问题，第一个是

首先对定积分转换成原函数的上限减下限

第二个是

关于原函数的存在性问题

二 积分上限的函数及其导数

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，因此可以得出积分上限的函数：

定理1 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 ∫_a^x f(t) dt 在 [a,b] （∫_a^x f(t) dt）’ = f(x)

[证] x<—(a,b)，

定理2 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 ∫_a^x f(t) dt 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数

例1

解：1）

2）

注：这里积分上下限互换完后为原函数乘个-1

例2

解：这里用洛必达 0/0 型，(1+x)^α-1 ~ αx

注：这里答案有问题，分母应该为1/2，而不是1/3，因此最后答案是1

三 牛顿—莱布尼茨公式

定理3 设 F(x) 为连续函数 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则

【证】

四 内容小结