〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 线性方程

y’ + p(x)y = Q(x) 非齐次 y = C(x)e^-∫p(x)dx
y’ + p(x)y = 0 齐次 y = C e^-∫p(x)dx

解析①：这里使用分部积分法，原本式子为 y’ + p(x)y = Q(x)，利用 (uv)’ = u’v + uv’分部积分公式，在原式两边同乘个u，可以得到 uy’ + up(x)y = uQ(x)，那么这里再根据分布积分公式来看，可以看出 u’ = up(x)，那么把这个式子变一下，可以变成 u’/u = p(x)，两边积分后可以得到 ln|u| = ∫p(x)dx（注意：这里u为函数u(x)，不是单纯的未知量），因此可以取 u = e^∫p(x)dx。

解析②：上面 y=一大串那个式子中，C是齐次方程的通解，而C前面的那个式子则是非齐次方程的特解

例1 y’-(2/x)y=x²

解：

例2 (dy/dx) = 1/(x+y)

解：

二 伯努利方程

y’ + p(x)y = Q(x)y^a a=0，线性；a=1，可分离

——令 t = y^1-a，化线性

解析：这里两边同乘个 y^-ay’ + p(x)y^1-a = Q(x)

令 y^1-a = Z，p(x)Z = Q(x)，(1-a)y^-ay’ = Z’

1/(1-a) Z’ + p(x)Z = Q(x)

Z’ + (1-a)p(x)Z = (1-y)Q(x) 线性

例3

解：

例4

解：

三 内容小结