〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 无穷小

定义1 如果函数 f(x) 当 x->x0（或 x->∞）时的极限为零，则称 f(x) 为 x->x0（或 x->∞）时的无穷小量。

例如：lim(x->0) sinx = 0；lim(x->∞) 1/x = 0；lim(x->0-) e^(1/x) = 0；lim(n->∞) 1/n = 0

注：1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆（例如：0.00001（常数），-100000（常数））
2.零是可以作为无穷小的唯一的数。（例：记 a(x)=f(x)-A，lim(x->x0) f(x) = A <=>lim(x->x0) g(x) = 0，这两个能直接互推）

定理1 lim f(x) = A <=> f(x) = A+α(x) 其中 limα(x) = 0.

二 无穷大

定义2 若 lim(x->x0) f(x) = ∞，则称 f(x) 是 x->x0 时的无穷大量。
即：若对任意给定的 M>0，总存在 δ>0，当 0<|x-x0|<δ时，恒有 |f(x)|>M.

正无穷大：lim(x->x0) f(x) = +∞

负无穷大：lim(x->x0) f(x) = -∞

无穷大量的几何意义：

1）若 lim(x->x0) f(x) = ∞ 则 x = x0 为 y = f(x) 的垂直渐近线。

2）若 lim(x->∞) f(x) = a 则 y = a 为 y = f(x) 的水平渐近线。

解析：这个…真用吗（），以 y=1/x (x>0) 为例，当x趋近于0的时候，其极限就趋近于无穷，因此 x=0 就是他的垂直渐近线；同样的，当x趋近于无穷的时候，极限趋近于0，因此 y=0 就是他的水平渐近线。

定理2 在同一极限过程中，如果 f(x) 是无穷大，则 1/f(x) 是无穷小；反之，如果 f(x) 是无穷小，且 f(x)≠0，则 1/f(x) 是无穷大。

三 内容小结

1.无穷小与无穷大的定义

2.无穷小与函数极限的关系

3.无穷小与无穷大的关系