〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 定义

1.夹逼准则

准则 I 如果数列 {Xn},{yn}及{Zn}满足下列条件：
（1）存在N，当 n>N 时，Xn≤yn≤Zn；
（2）lim (n->∞) Xn = lim (n->∞) Zn = a，则 lim(n->∞) yn = a。
解析：这里以 Xn≤yn≤Zn 为前提，Xn和Zn都趋近于同一个极限a时，此时夹在中间的yn也趋近于同一个极限a。

【证】由于lim(n->∞) Xn = lim(n->∞) Zn = a，则任意ε>0，存在N，当n>N时，|Xn-a|<ε => a-ε<Xn<a+ε；|Zn-a|<ε => a-ε<Zn<a+ε。又∵a-ε<Xn≤yn≤Zn<a+ε => |yn-a|<ε。

【例1】求极限 lim(n->∞) [1/sqrt((n²+1),2)+1/sqrt((n²+2),2)+……+1/sqrt((n²+n),2)]
解：进行放大：n/sqrt((n²+n),2)≤[原式]≤n/sqrt((n²+1),2)，运用夹逼定理，两边极限都为1，因此此极限也为1。

准则 I‘ 如果
（1）当 x∈U(x0,δ)时，f(x)≤g(x)≤h(x)≤h(x)；
（2）lim(x->x0) f(x) = lim (x->x0) h(x) = a，
则 lim(x->x0) g(x) = a。

【例2】求极限 lim(x->+∞) (2+sinx)^(1/x).
解：1 <—— 1^(1/x) ≤ (2+sinx)^(1/x) ≤ 3^(1/x) ——> 1
根据夹逼原理，可得知中间原式极限也为1。

【例3】证明极限 lim(x->0) sinx/x = 1.
解：

解析：先看中间的小三角形，也就是▲OBA，此时其面积为1/2底乘高，也就是1/2*BD*OA，因为OA为1，BD为sinx，因此OBA三角形面积为（1/2)*sinx。再来看扇形OBA，面积公式为（1/2）*r²*x，因为r=1，所以扇形面积为（1/2）*x。最后看大三角形OCA，这里AC是经过B点的圆的切线，因此S▲OCA，等于（1/2）*OA*OC，又因为AC为tanx，所以S▲OCA的面积为（1/2）*tanx。

解：根据上面可知，sinx<x<tanx，x∈(0,Π/2)，所以1<x/sinx<1/cosx => cosx<sinx/x<1，因此0<1-sinx/x<1-cosx=2sin²(x/2)。因为sinx/x为偶函数，左极限为1，右极限为1，根据夹逼定理，所以sinx/x的极限也为1。

【例4】求极限 lim(x->0) tanx/x
解：可以写成lim(x->0) (sinx/x)*(1/cosx) = 1

【例5】求极限 lim(x->0) (1-cosx)/x²
解：可以写成lim(x->0) 2sin²(x/2)/x² = lim(x->0) (2/4)*(sin(x/2)/(x/2))² = 1/2.

【例6】求极限 lim(x->0) arctanx/x.
解：令 arctanx = t，可推出 x=tant，因此原式等于lim(t->0) t/tant = 1.

2.单调有界准则

准则 II 单调有界数列必有极限。
即单调增（减）有上（下）界数列必有极限。

注：单调增有界数列只需要有上界就行，因为其第一项为最小值，不需要考虑其下界的问题；同样的，单调减数列只需要考虑其下界问题，不需要考虑上界问题。

【例7】证明极限lim (n->∞) (1+1/n)^n 存在
解：（请对照下方图片来看）
通过利用公式“(a1a2……an)≤((n+1)/n)^n”，可以推出（1+1/n）^n≤（1+1/(n+1))^(n+1) = ((n+1+1)/(n+1))^(n+1)（这里把n+1代入进了n）可以得出(1+1/(n+1))^(n+1)，然后这里原式(1+1/n)(1+1/n)(1+1/n)……后面乘上1/2·1/2，因此有了n+2个项（注意：这里的n+2个项是把前面的(1+1/n)(1+1/n)……这一堆为n个项，而后面的1/2·1/2为2个项，因此这里为n+2）变成了（(n+1+1)/(n+2)）^（n+2）= 1（注意：这里分母的n+2就是前面所说得来的）；因此得出了上界。

【例8】证明极限 ①lim(x->∞) (1+1/x)^x = e.② lim(x->0) (1+x)^1/x = e
解：（下面部分内容把n换成了x，还请注意）
①：因为 lim(n->∞) (1+1/n)^n = e.，因此n越小，整体的值也越来越大，所以进行放大；运用取整的方法，当n->+∞的时候，x-1≤[x]≤x，此时带到分母上去，可以整理成这样的一个样子：

又因为（1+1/n）的极限是1，（1+1/n）^n的极限为e（后续解析会说明），所以推出了趋向于正无穷的时候证明了（1+1/x）^x的极限为e；对应的，当趋向于负无穷的时候，lim(x->-∞) (1+1/x)^x = lim(t->+∞) (1-1/t)^-t = lim(t->+∞) (t/t-1)^t = lim(t->+∞) (1+1/t-1)^(t-1)·(1+1/t-1) = e.
②：利用倒带换，令 x=1/t，因此可以转化成 lim(x->∞) (1+1/t)^t = e

解析：这里面的1+1/n的极限确实可以认为是1，但是有n次方后，并不是说能直接得出1的n次方还是1；例如n=1000的时候，1+1/n=1.001，以这样为例，（1.001）的1000次方是2.718，而不是所谓的1，因此（1+1/n）^n的极限就是e。

二 内容小结

1.两个极限存在准则
（1）夹逼准则
（2）单调有界准则
2.两个重要极限
（1）lim(x->0) (sinx/x) = 1；lim(x->0) (sinΔ/Δ) = 1（Δ≠0）
（2）lim(x->∞) (1+1/x)^x = e； lim(x->0) (1+x)^1/x = e； lim(x->0) (1+Δ)^1/Δ = e