〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 函数的连续性

定义（连续）：若 lim(Δx->0) Δy = 0，或 lim(x->x0) f(x) = f(x0)，则称 f(x) 在 x0 处连续。
左连续：lim(x->x0-) f(x) = f(x0)
右连续：lim(x->x0+) f(x) = f(x0)
连续 <=> 左连续且右连续
f(x) 在区间上连续；

【例1】试证：sinx 在区间 (-∞,+∞) 上连续。
解：|Δy| = |sin(x0+Δx) – sinx0| = 2|sin (Δx/2)| |cos (2×0+Δx)/2| ≤ 2 sin|Δx|/2 ≤ 2·|Δx|/2 -> 0 ，因此 Δy -> 0，根据定义，可知 sinx是连续的。
注：这里用的是这个公式

二 函数的间断点

1.f(x)在 x0 处连续
1）f(x)在x0有定义
2）lim(x->x0) f(x) 存在
3）lim(x->x0) f(x) = f(x0)
注：需要三个都满足

2.间断点：f(x) 在 x0 某去心邻域有定义
1）x0无定义
2）lim(x->x0) f(x) 不存在
3）lim(x->x0) f(x) ≠ f(x0)
注：这三个只要有一个不成立，就是间断点

3.间断点分类：第一类间断点：左、右极限都存在
1）可去间断点：f(x0-0) = f(x0+0)

2）跳跃间断点：f(x0-0) ≠ f(x0+0)

第二类间断点：左、右极限至少与一个不存在
1）振荡间断点：f(0-)，f(0+)不存在
2）无穷间断点：lim(x->0) f(x) = ∞

【例2】判断下列函数的间断点 x=0 的类型
1）f(x) = sinx/x （可去）
2）f(x) = sgn x （跳跃）
注：sgn x 是这个

3）f(x) = sin 1/x （振荡）
注：f(0-)，f(0+)不存在
4）f(x) = 1/x² （无穷）
注：lim(x->0) f(x) = lim(x->0) 1/x² = ∞

三 内容小结

1.f(x) 在点 x0 连续的等价形式

2.f(x) 在点 x0 间断的类型