〇 前言

这里是针对本学校内老师所发PPT来进行自盘，因为有部分领域还未熟悉，故写此篇文章让自身印象更加深刻。

本文将会结合ppt+chatgpt来熟悉每一步该如何去简易化，熟悉化。这里是以自控老师所发的机理建模ppt为根据进行编写。

此系列并非考研系列，还请注意。

一 例题

首先来看看这张图吧，这里是以液位控制系统为模型，来进行机理建模，结合ChatGPT，以此为类型的题可以分为以下步骤来进行解决：

①、先看这道题到底在干什么

图中输入量为Qi(t)，流入水量；输出量为H(t)，液面高度，中间变量为Qo(t)，流出水量；其中水箱截面积为A。

所以本质上来说是：

也就是说，Qi为输入量，H是要检测的输出量，其中水箱是被控对象。

在此基础上，因为你要找的是Qi(t) -> H(t)，因此这里可以推出 H(s)/Qi(s).

②、第一步：先找“储存了什么”

因为水箱里储存的是水，因此可以根据公式推出：V=AH

又因为液面高度H老发生变化，可以推出水箱里的水量也是跟随其高度而进行变化，因此可以写出微分方程式：dV=AdH

也就是图中的：

③、第二步：写守恒定律

对于水箱来说，可以写出“流入量 – 流出量 = 水箱内部储存量的变化”。

因此可以推导出：Qi – Qo = dV/dt；

又因为前面的公式：V=AH，所以可以推出：

于是可以进一步得到：

④、第三步：找元件之间的关系

这里注意到，我们所要要求的是 Qi -> H，但目前方程式里还出现了另外一样东西：Qo；也就是所谓的中间变量。

因此你必须要继续寻找：Qo = f(H)

ok，那么这里就要分两种情况来进行看待了：流量与液位成线性关系或非线性关系

情况1：流量与液位成正比（线性关系）

如果是是成正比的话，那么可以写出：Qo = αH，带入到上式中可以得出：

于是上面这个方程就是我们要建立的线性微分方程模型。

情况2：流量与液位成非线性关系

如果题目告诉你：

那么带入守恒方程，可以得出：

这是非线性微分方程。为什么呢？是因为有 √H，不是H的一次函数。

问题来了，自控原理中需要经常线性化，因为后面要研究传递函数、频率特性、稳定性等东西，所以我们经常希望得到：线性微分方程。

因此这里我们假设系统在某个稳态工作点：H = H0，Qi = Qi0
在这个工作点附近工作。

因此我们这里定义小偏差：h = H – H0，qi = Qi – Qi0

对于 Q0 = α √H，在 H0 点附近进行泰勒展开：

而：

令：

因此：q0 = Kh

最终可以得到类似的：

这里公式变成了线性模型。

⑤、第四步：最后再做拉普拉斯变换

在上式基础上进行拉普拉斯变换，可以得出：

提取完H(s)，再转换之后，可以得出结论：

这就是系统的传递函数。

二 模板

以后看到这种类型的题目时，可以按此模板来套入：

三 额外补充（泰勒展开）

用一句话理解就是“泰勒展开，就是用一个比较简单的多项式，在某个点附近“假装”一个复杂函数”

这里以 e^x 为例，在 x=0 附近，当 x 很小的时候，可以近似为：

如果想更准确一点的话，那就是：

总的来说，就是“加的项越多，通常越接近原来的函数”

那为什么能这样展开呢，我们这里，把函数想象成一条曲折的小路，假设我们只关心 x=0 附近的小路，最简单的方法就是用一条直线去模仿他：

这里：
·f(0)：告诉你这条路从哪里开始
·f'(0)：告诉你路在这里有多陡

但一条直线只能描述“位置+斜率”，描述不了弯曲程度。所以再加入：

这个东西就是开始描述弯曲程度的，后面再加就是：

描述更细的变化。

所以泰勒展开的本质上是：

“我不只看函数在这个点是多少，还看它的一阶导数、二阶导数、三阶导数……然后用这些信息一点一点把函数“拼”出来”

再结合前面的例子，在H0附近的点使用泰勒展开，可以得出：

也就是：

而在自控原理里，最常用的就是下面这个式子：

这就是一阶泰勒展开，也是线性化的核心。