〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 函数的极值及其求法

定义（极值） 若 存在δ>0，使得
①任意 x ∈ U(x0,δ)，恒有f(x) ≥ f(x0)，则称 f(x) 在 x0 取极小值。
②任意 x ∈ U(x0,δ)，恒有f(x) ≤ f(x0)，则称 f(x) 在 x0 取极大值。

定理1（极值的必要条件）
若 f(x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则 f'(x0) = 0

驻点（在x0处导数为零的点）和极值点（取得极值的点）两者的关系：

知道驻点不能推出极值点就是驻点（反例：x³）；同样的，知道极值点也不能推出驻点就是极值点（反例：|x|）。

注：在“f(x)可导”的前提下，驻点不一定是极值点，但极值点一定是驻点。

因此可以推出，可能极值点有两种，分为 f'(x0)=0 和 f'(x0)不存在。

定理2（极值的第一充分条件）

设 f(x) 在 U(x0,δ) 内可导，且 f'(x0) = 0（或 f(x) 在 x0 处连续）
（1）若 x < x0 时，f'(x) ≥ 0；x > x0 时，f'(x) ≤ 0，则 f 在 x0 处取极大值。
（2）若 x < x0 时，f'(x) ≤ 0；x > x0 时，f'(x) ≥ 0，则 f 在 x0 处取极小值。
（3）若 f'(x) 在 x0 的两侧不变号，则 f 在 x0 无极值。

定理3（极值的第二充分条件）设 f'(x0) = 0，f”(x0) ≠ 0
（1）当 f”(x0) < 0，f(x) 在 x0 处取极大值。
（2）当 f”(x0) > 0，f(x) 在 x0 处取极小值。

例1 求函数 f(x) = x³ – 3x -9x +5 的极值

解：原式= 3(x-3)(x+1) => x1=-1，x2=3
当 x=-1 时，f'(x) -> + -> -，极大值
当 x=3 时，f'(x) -> – -> +，极小值
f”(x) = 6x-6，f”(-1) =-12，极大；f”(3) = 12，极小

例2

解：

二 最大值与最小值问题

（1）求连续函数 f(x) 在 [a,b] 上的最值

第一步：求出 f(x) 在 (a,b) 内的驻点和不可导的点x1,x2……xn

第二步：求出函数值 f(x1)，f(x2)，……f(xn)，f(a)，f(b)

第三步：比较以上各点函数值

（2）最大最小值的应用题

第一步：建立目标函数

第二步：按括号一的步骤走

注：极值与最值的区别：极值是“局部最高/最低”，只比较某点附近；最值是“全局最高/最低”，比较整个定义域。极值只能出现在内部点，而最值既可能在内部极值点，也可能在区间端点取得。

例3 求 f(x) = 2x³ – 3x² 在 [-1,2] 上最大值和最小值

解：

例4 证明

解：

例5 在半径为R的球中内接一只圆锥，试求圆锥的最大体积

解：

三 内容小结

1.连续函数的极值

（1）极值可疑点：f'(x0) = 0 或 f'(x0) 不存在

（2）第一充分条件
f'(x) 过 x0 由正变负 ——> f(x0) 为极大值
f'(x) 过 x0 由负变正 ——> f(x0) 为极小值

（3）第二充分条件
f'(x0) = 0，f”(x0) < 0 ——> f(x0)为极大值
f'(x0) = 0，f”(x0) > 0 ——> f(x0)为极小值

2.连续函数的最值

（1）求连续函数 f(x) 在 [a,b] 上的最值
（2）最大最小值的应用题