〇 前言

此文章是在武忠祥老师的高等数学的基础上做此文章，目的是为了更好留下印象以及给不懂的地方及时解释。

一 分部积分法

设 u(x)，v(x)有连续一阶导数，则

解析：可以看下图知道如何证明而来

注：vdu一定要好做

例：求下列不定积分
1）

解：原式 = ∫xde^x = xe^x-∫e^xdx = xe^x – e^x + C = (1/2) ∫e^xdx = (1/2) [x²e^x-∫x²de^x]

2）

解：原式 = -∫xdcosx = -[xcosx – ∫cosxdx] = -[xcosx – sinx] + C

3）

解：原式 = (1/2) ∫ lnx dx² = (1/2) [x²lnx-∫x²dlnx] = (1/2) [x²lnx – ∫ xdx] = (1/2) [x²lnx – (1/2)x²] + C

4）

解：原式 = (1/2) ∫arctanx dx² = (1/2) [arctanx·x² – ∫(x²/(1+x²)) dx] = (1/2) [arctanx·x² – x + arctanx] + C
注：标粗地方是通过（x²+1-1）/（1+x²）来实现的

5）

解：原式 = ∫ sinx de^x = e^x sinx – ∫e^x cosx dx = e^xsinx – ∫cosxde^x = e^xsinx – [e^xcosx + ∫e^x sinx dx]（这里移过去），可以得出：(1/2) e^x(sinx – cosx) + C

6）

解：原式 = ∫secx d tanx = secx tanx – ∫tan²x secx dx = secx tanx – ∫sec³x dx（两边都有此项，直接移过去） + ∫secx dx，可以推出：(1/2) [secx tanx + ln|secx+tanx|] + C
注：这里需要记住一个公式

7）

解：令√x = t，原式 = 2 ∫t sint dt

8）

解：原式 = ∫x f'(x) dx = ∫x d f(x) = x f(x) – ∫f(x) dx = x (sinx/x)’ – sinx/x + C = x·(xcosx – sinx)/x² – sinx/x + c

二 内容小结